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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Pruebe las siguientes desigualdades
a) $\sin x<x$ si $x>0$
a) $\sin x<x$ si $x>0$
Respuesta
Para probar esta desigualdad
Reportar problema
$\sin x<x$ si $x>0$
podemos plantear
$\sin(x) - x < 0$
definirnos la función $f(x) = \sin(x) - x$, hacer un estudio completo y ver que siempre es menor a $0$ para $x > 0$
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$\lim_{x \to +\infty} \sin(x) - x = -\infty$
$\lim_{x \to -\infty} \sin(x) - x= +\infty$
3) Calculamos $f'(x)$:$f'(x) = \cos(x) - 1 $
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$\cos(x) - 1 = 0$
$\cos(x) = 1$
Bueno, tenemos infinitos puntos críticos, no? Así que se imaginarán que tenemos que pensar una manera más conveniente que ir evaluando el signo de $f'(x)$ en cada intervalo para ver si es positiva o negativa jeje...
Miremos con atención la expresión de $f'(x)$
$f'(x) = \cos(x) - 1 $
Sabemos que $\cos(x)$ oscila entre $-1$ y $1$. Por lo tanto, justo cuando $\cos(x) = 1$ $f$ va a valer cero y vamos a estar en un máximo o mínimo, pero para cualquier otro $x$, $\cos(x)$ nunca va a valer más que $1$. Entonces... ¿estás viendo que $f'(x)$ va a ser siempre negativa? Por lo tanto, $f$ es monótona decreciente.
El gráfico es una cosa así:
Mirando el gráfico, vemos que efectivamente se cumple que para todo $x > 0$, $\sin(x) - x < 0$. Y con esto probamos lo que nos pedía el enunciado :)